Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆.

（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；

（2）若圆的半径为，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题（1）确定圆的方程，就是确定半径的值，因为直线与圆相切，所以先确定直线方程，即确定点坐标：因为轴，所以，根据对称性，可取，则直线的方程为，根据圆心到切线距离等于半径得（2）根据垂径定理，求直线被圆截得弦长的最大值，就是求圆心到直线的距离的最小值. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离，利用得，化简得，利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达定理得，因此，当时，取最小值，取最大值为.

试题解析：解：（1）

因为椭圆的方程为，所以，.

因为轴，所以，而直线与圆相切，

根据对称性，可取，

则直线的方程为，

即.

由圆与直线相切，得，

所以圆的方程为.

（2）

易知，圆的方程为.

①当轴时，，

所以，

此时得直线被圆截得的弦长为.

②当与轴不垂直时，设直线的方程为，，

首先由，得，

即，

所以（*）.

联立，消去，得，

将代入（*）式，

得.

由于圆心到直线的距离为，

所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.

综上，因为，所以直线被圆截得的弦长的最大值为.