Question

已知实数x、y满足

x+y-3≥0     x-y+1≥0     x≤2

（1）若z=2x+y，求z的最值；
（2）若z=x²+y²，求z的最值
（3）若z=

y

x

，求z的最值．

Answer 1

分析：先画出约束条件的可行域，根据
（1）z=2x+y即y=-2x+z，z表示直线的纵截距；
（2）z=x²+y²所表示的几何意义：点到原点距离的平方；
（3）z=

y

x

的几何意义是图中阴影部分中的点与原点连线的斜率，分析图形找出满足条件的点，即可得到结论．

解答：解：满足约束条件的可行域

x+y-3≥0     x-y+1≥0     x≤2

如图所示，三角形三个顶点的坐标分别为（2，1），（2，3），（1，2）
（1）z=2x+y即y=-2x+z，z表示直线的纵截距，则z=2x+y在（2，3）处取得最大值为7，在（1，2）处取得最小值为4；
（2）∵z=x²+y²所表示的几何意义为：点到原点距离的平方
由图可得，原点到图中阴影部分中的直线x+y-3=0的距离的平方时，
此时z=x²+y²的最小，最小值为(

|-3|

2

)2=

9

2

，点（2，3）到原点的距离最大，最大值为13；
（3）z=

y

x

的几何意义是图中阴影部分中的点与原点连线的斜率，在点（2，1）处，斜率取得最小值为

1

2

；在（1，2）处，斜率取得最大值为2．

点评：本题考查线性规划问题，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．