Question

（本小题满分12分）
已知直线l：y=x，圆C₁的圆心为（3，0），且经过（4，1）点.
（1）求圆C₁的方程；
（2）若圆C₂与圆C₁关于直线l对称，点A、B分别为圆C₁、C₂上任意一点，求|AB|的最小值；
（3）已知直线l上一点M在第一象限，两质点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒个单位沿射线OM方向运动，设运动时间为t秒.问：当t为何值时直线PQ与圆C₁相切？

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：（Ⅰ）依题意，设圆的方程为　………1分
∵　圆经过点
∴　　　…………2分
∴　圆的方程为　　…………3分
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可知，圆的圆心的坐标为，半径为 
到直线的距离
　　　…………5分
∴　圆到直线的最短距离为　…………6分
∵　圆与圆关于直线对称
∴　．　　　　　…………7分
方法二：∵圆与圆关于直线对称.
∴ 圆圆心为（0，3），半径为 ……………5分
∴ ||=
∴ =-2×= ………………7分
（Ⅲ）当运动时间为秒时，，
则　　　                  …………8分
由可设点坐标为（），
则　　       　
解得，即　   　　
∴　　　　　　　　
∴　直线方程为，即　……………10分
若直线与圆相切，则到直线的距离
　　…………11分
解得　
答：当时，直线与圆相切　　…………12分
点评：求与圆上的动点有关的距离最值问题通常先求出到圆心的距离