Question

【题目】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．

(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）－2

【解析】

（1）本题中，需要证明的是函数的增减性，则需要回归定义，从定义出发，根据增减性采用合适的拼凑法来进行证明

（2）抽象函数函数值的求法需要通过合理赋值求得，需要考虑函数的增减性。

(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2，

则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，

所以f(x2－x1)<0，

又因为x2＝(x2－x1)＋x1，

所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]

＝f(x2－x1)＋f(x1)，

所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，

所以f(x2)<f(x1)．

所以f(x)是R上的单调减函数．

(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，

所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，

所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．

而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.

所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.