Question

如图,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,试问截面在什么位置时,其截面的面积最大?

Answer 1

解析:∵AB∥平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH,

∴AB∥FG,AB∥EH.∴FG∥EH.同理可证EF∥GH.

∴截面EFGH是平行四边形.

设AB=a,CD=b,∠FGH=α(a、b、α均为定值,其中α为AB与CD所成的角).

又设FG=x,GH=y,由平面几何知识得，两式相加得,即y=(a-x).

∴S_EFGH=FG·GH·sinα=x·(a-x)·sinα=·x(a-x).

∵x＞0,a-x＞0,且x+(a-x)=a为定值,∴当且仅当x=a-x,即x=时,有(S_EFGH)_max=inα,故当E、F、G、H分别为相应棱的中点时,截面面积最大.