Question

如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

 

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，

所以是的中点.又点是棱的中点，

所以是的中位线，.                       ……………2分

因为平面,平面，

所以平面.                                        ……………4分

（Ⅱ）证明：由题意，,

因为,所以，.                ……………6分

又因为菱形，所以.  …………7分

因为,

所以平面，           ……………8分

因为平面，

所以平面平面.       ……………9分

（Ⅲ）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积.      ……………10分

由（Ⅱ）知，平面，

所以为三棱锥的高.                          ……………11分

的面积为，   ……………12分

所求体积等于.                           ……………13分