Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（2+x）=f（2-x），若函数y=f（x）在（0，4）上至少有1个零点，且f（0）=0，则函数y=f（x）在（-8，10]上至少有（　　）个零点．

• A、7
• B、9
• C、11
• D、13

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件判断函数的周期性，根据函数函数的奇偶性和周期性寻找零点即可得到结论．

解答： 解：∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（2+x）=f（2-x），
∴f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x），则函数f（x）是周期4的周期函数，
∵f（0）=0，∴f（0）=f（4）=f（8）=f（-4）=0，此时有4个零点，
设函数y=f（x）在（0，4）上的零点为a，则f（0-a）=f（4-a）=f（-a）=f（a）=0，
则得4-a=a，解得a=2，即f（2）=0，则f（-2）=f（2）=0，
则f（2）=f（6）=f（10）=f（-2）=f（-6）=0，此时有5个零点，
则函数y=f（x）在（-8，10]上至少有9个零点，
故选：B

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数周期性和奇偶性的性质是解决本题的关键．