题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，PD=2，E，F分别为BC，AD的中点，（Ⅰ）求直线DE与面PBC所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角P-BF-D的正切值．
分析：（Ⅰ）取PC的中点N，连接DN，EN，由题意可得：PD⊥BC，所以得到BC⊥面PDC，即面PBC⊥面PDC，所以DN⊥面PBC，所以∠DEN为直线DE与面PBC所成的角，再结合解三角形的有关知识求出答案．
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，结合题意可得：∠PMD为二面角P-BF-D的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的正切值即可．
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，结合题意可得：∠PMD为二面角P-BF-D的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的正切值即可．
解答：解：（Ⅰ）取PC的中点N，连接DN，EN，
∵PD⊥面ABCD，
∴PD⊥BC，
又由题意有BC⊥DC，
∴BC⊥面PDC，
∴面PBC⊥面PDC，
又PD=DC可得DN⊥PC，
∴DN⊥面PBC，
所以∠DEN为直线DE与面PBC所成的角，…（4分）
由题意DN=
，DE=
，
所以sin∠DEN=
=
．…（7分）
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，
∵PD⊥面ABCD，所以PM在面ABCD内的射影为DM，
∴PM⊥BF，
所以∠PMD为二面角P-BF-D的平面角…（10分）
由Rt△DMF与Rt△BAF相似，
所以
=
⇒DM=
所以tan∠PMD=
=
…（13分）
∵PD⊥面ABCD，
∴PD⊥BC，
又由题意有BC⊥DC，
∴BC⊥面PDC，
∴面PBC⊥面PDC，
又PD=DC可得DN⊥PC，
∴DN⊥面PBC，
所以∠DEN为直线DE与面PBC所成的角，…（4分）
由题意DN=
| 2 |
| 5 |
所以sin∠DEN=
| ||
|
| ||
| 5 |
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，
∵PD⊥面ABCD，所以PM在面ABCD内的射影为DM，
∴PM⊥BF，
所以∠PMD为二面角P-BF-D的平面角…（10分）
由Rt△DMF与Rt△BAF相似，
所以
| DM |
| AB |
| DF |
| BF |
| 2 | ||
|
所以tan∠PMD=
| PD |
| DM |
| 5 |
点评：本题主要考查线面角与面面角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，利用有关的定理找到所求的角，再利用解三角形的知识解决问题即可．
练习册系列答案
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