Question

已知矩形，，点是的中点，将△沿折起到△的位置，使二面角是直二面角.

(1)证明：⊥面；

(2)求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1)证明见解析；(2).

【解析】

试题分析：（1）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直．（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值.

试题解析：(1)∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，

又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC

∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．

又CD’⊥ED’,且BE∩ED’=E,故CD′⊥面BED’                  4分

(2)法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC

垂足为F，连接D’M，D'F,则D'M⊥EC.

∵平面D'EC⊥平面BEC∴D'M⊥平面EBC

∴MF是D'F在平面BEC上的射影，由三垂线定理得：D'F⊥BC

∴∠D'FM是二面D'-BC-E的平面角．    8分

在Rt△D'MF中，,

,

∴二面角D’-BC—E的余弦值为                     12分，

法二：如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．

则

设平面BEC的法向量为；平面D'BC的法向量为

,

     取x₂=l

得

∴二面角D'-BC-E的余弦值为      12分

考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.直线与平面垂直的性质