Question

（本小题满分12分）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点， 是线段上的点．

（I）当是的中点时，求证：平面；

（II）要使二面角的大小为，试确定点的位置．

 

Answer 1

【答案】

（I）只需证；（II）。

【解析】

试题分析：【法一】（I）证明：如图，取的中点，连接．

由已知得且，

又是的中点，则且，

是平行四边形，                    ………………

∴

又平面，平面

平面………………………

（II）如图，作交的延长线于.

连接，由三垂线定理得，

是二面角的平面角．即…………………

，设，

由可得

故，要使要使二面角的大小为，只需………………

【法二】（I）由已知，两两垂直，分别以它们所在直线为轴建立空间直角坐标系．

则，，则………………

，，，

设平面的法向量为

则，

令得………………………………………

由，得

又平面，故平面…………………

（II）由已知可得平面的一个法向量为，

设，设平面的法向量为

则，令得……………

由，

故，要使要使二面角的大小为，只需……………

考点：线面垂直项性质定理；线面平行的判定定理；二面角。

点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角或补角； ②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。