Question

已知椭圆的左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂作倾斜角都为45°的两条直线与椭圆交于四点，所构成的四边形与椭圆四个顶点所构成的四边形面积之比为

2 2

3

，则离心率

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，过F₁且倾斜角是45度的一条直线方程是y=x+c，联立化简求|y₁-y₂|=2

2

ab2

a2+b2

，从而求以该四点为顶点的四边形的面积S₁=|F₁F₂||y₁-y₂|=2c2

2

ab2

a2+b2

；再求以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积是S₂=2ab；从而得到比值，化简可得离心率．

解答： 解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，过F₁且倾斜角是45度的一条直线方程是y=x+c，
代入到椭圆方程化简可得，
（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，
y₁+y₂=

2b2c

a2+b2

，y₁y₂=

-b4

a2+b2

；
（y₁-y₂）²=（

2b2c

a2+b2

）²-4

-b4

a2+b2

=

8a2b4

(a2+b2)2

；
|y₁-y₂|=2

2

ab2

a2+b2

，
故以该四点为顶点的四边形的面积S₁=|F₁F₂||y₁-y₂|=2c2

2

ab2

a2+b2

；
以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积是S₂=2ab；
又∵

S1

S2

=

2 2

3

，
2b²+c²=3bc；
（2b-c）（b-c）=0，
2b=c或b=c；
a²=b²+4b²=5b²或a²=2b²，
故a=

5

b或a=

2

b；
又∵e=

c

a

，
∴e=

2 5

5

或

2

2

．
故答案为：

2 5

5

或

2

2

．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系应用，属于中档题．