题目内容
【题目】如图，三棱柱
中，D是
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）若
是边长为2的正三角形，且
，
，平面
平面
.求平面与侧面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）连接
，记
，连接
，证明
得到答案.
（2）证明
，
，
两两互相垂直，建立空间直角坐标系，计算平面
和平面
的法向量，利用向量夹角公式得到答案.
（1）连接，记，连接，故
为中点，
D是
的中点，所以，又
平面，
平面.
故
平面.
（2）取边中点点O，连接，
，因为
，
为等边三角形，
，所以
，
，
又平面
平面，且平面
平面
，
平面，所以，，两两互相垂直.
故以O为原点，建立空间直角坐标系
如图所示：
则由题意可知
，
，
.
设平面的法向量
，则
，即
，
令
，解得
，得
.
显然平面的一个法向量为
.
∴
，
∴二面角的正弦值为
.
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【题目】自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
20以下 | [20，30） | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
