Question

已知数列满足,且.试猜想的最小值,使得对恒成立,并给出证明.

Answer 1

解：当n=1时,,因为,所以欲恒成立,

则要恒成立,解得,由此猜想的最小值为2………………………………4分

因为,所以要证该猜想成立,只要证:当时,对恒成立…………………5分

   现用数学归纳法证明之:①当n=1时结论显然成立.……………………………………………………6分

②假设当n=k时结论成立，即ak∈(0, 2),

则当n=k+1时，ak+1=－ak2+2ak= ak(2－ak)

一方面,ak+1=ak(2－ak­)>0成立………………………………………………………………………… 8分

另一方面,ak+1=ak(2－ak)=－(ak－1)2+1≤1<2,所以ak+1∈(0, 2)，即当n=k+1时结论也成立.… 9分

由①、②可知,猜想成立,即的最小值为2……………………………………………………………10分