Question

18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）判断直线l与圆C的交点个数；
（Ⅱ）若圆C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程，由此得到圆心（0，1）在直线l上，从而能求出直线l与圆C的交点个数．
（Ⅱ）由AB为圆C的直径，能求出|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
∴消去参数t得直线l的普通方程为$\sqrt{3}x+y-1=0$，
∵圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
∴由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，得圆C的直角坐标方程为x²+y²-2y=0．
∵圆心（0，1）在直线l上，
∴直线l与圆C的交点个数为2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心（0，1）在直线l上，
∴AB为圆C的直径，
∵圆C的直角坐标方程为x²+y²-2y=0．
∴圆C的半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4}$=1，∴圆C的直径为2，∴|AB|=2．

点评 本题考查直线与圆的交点个数的判断，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化公式的合理运用．