题目内容

直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线，则a的值为

A.
1
B.
$数学公式$
C.
1或 $数学公式$
D.
4

C
分析：由直线与曲线相切，根据直线已知，即可得出切线斜率，即得出曲线的导数的方程，再设出切点坐标，利用切点在曲线上，又得到一个方程，两个方程联立求解即可．
解答：设切点P（x₀，x₀）
∵直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线
∴切线的斜率为1
∵y=x³-3x²+ax
∴y′ $\text{[math]}$ =3x²-6x+a $\text{[math]}$ =3x₀²-6x₀+a
根据切线的几何意义得：
3x₀²-6x₀+a=1①
∵点P在曲线上
∴x₀³-3x₀²+ax₀=x₀②
由①，②联立得
$\text{[math]}$ ③或 $\text{[math]}$ ④
由③得，a=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或 $\text{[math]}$ ，把x₀的值代入④中，得到a=1或 $\text{[math]}$ ，
综上所述，a的值为1或 $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题．