题目内容
（2010•眉山一模）直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a的值为（ ）
分析：由直线与曲线相切，根据直线已知，即可得出切线斜率，即得出曲线的导数的方程，再设出切点坐标，利用切点在曲线上，又得到一个方程，两个方程联立求解即可．
解答：解：设切点P（x0，x0）
∵直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线
∴切线的斜率为1
∵y=x3-3x2+ax
∴y′︳x=x0=3x2-6x+a ︳x=x0=3x02-6x0+a
根据切线的几何意义得：
3x02-6x0+a=1①
∵点P在曲线上
∴x03-3x02+ax0=x0②
由①，②联立得
③或
④
由③得，a=1
由④得x02-3x0=3x02-6x0解得x0=0或
，把x0的值代入④中，得到a=1或
，
综上所述，a的值为1或
．
故选C．
∵直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线
∴切线的斜率为1
∵y=x3-3x2+ax
∴y′︳x=x0=3x2-6x+a ︳x=x0=3x02-6x0+a
根据切线的几何意义得：
3x02-6x0+a=1①
∵点P在曲线上
∴x03-3x02+ax0=x0②
由①，②联立得
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由③得，a=1
由④得x02-3x0=3x02-6x0解得x0=0或
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综上所述，a的值为1或
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故选C．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题．
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