Question

15．已知函数f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），定义使f（1）•f（2）•f（3）…f（k）为整数的数k（k∈N^*）叫做“企盼数”，则在区间[1，2015]上这样的“企盼数”共有9个．

Answer 1

分析 由已知中函数f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N*），由对数运算的性质易得f（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2），若其值为整数，则k+2=2ⁿ（n∈Z），结合k∈[1，2015]，我们易得到满足条件的数的个数．

解答 解：∵函数f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N*），
∴f（1）=log₂3，
f（2）=log₃4
…
f（k）=log_k+1（k+2），
∴f（1）•f（2）…f（k）=log₂3•log₃4…log_k+1（k+2）=log₂（k+2），
若f（1）•f（2）…f（k）为整数
则k+2=2ⁿ（n∈Z）
又∵k∈[1，2015]，
故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510，1022}
故答案为：9

点评 本题考查的知识点是对数的运算性质，其中用换底公式求得（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2）是解答本题的关键，属于难题．