Question

【题目】如图，椭圆 的左右焦点分别为的、，离心率为；过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，当时， 点在轴上的射影为。连结并延长分别交于、两点，连接； 与的面积分别记为， ，设.

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；

（Ⅱ）求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ,;(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ ）由题意得得，根据点M在抛物线上得，又由，得 ，可得，解得，从而得，可得曲线方程。（Ⅱ ）设， ，分析可得，先设出直线的方程为 ，由，解得，从而可求得，同理可得,故可将化为m的代数式，用基本不等式求解可得结果。

试题解析：

（Ⅰ）由抛物线定义可得，

∵点M在抛物线上，

∴，即 ①

又由，得

将上式代入①，得

解得

∴

，

所以曲线的方程为，曲线的方程为。

（Ⅱ）设直线的方程为，

由消去y整理得，

设， .

则，

设， ，

则，

所以， ②

设直线的方程为 ，

由，解得，

所以，

由②可知，用代替，

可得，

由，解得，

所以，

用代替，可得

所以

，当且仅当时等号成立。

所以的取值范围为.