已知抛物线x2=4y.圆C:x2+(y-2)2=4.点M(x0.y0).(x0＞0.y0＞4)为抛物线上的动点.过点M的圆C的两切线.设其斜率分别为k1.k2(Ⅰ)求证:k1+k2=$\frac{2{x} {0}}{{{x} {0}}^{2}-4}$.k1•k2=$\frac{{{y} {0}}^{2}-4{y} {0}}{{{x} {0}}^{2}-4}$．(Ⅱ)求过点M的圆的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

已知抛物线x²=4y，圆C：x²+（y-2）²=4，点M（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞4）为抛物线上的动点，过点M的圆C的两切线，设其斜率分别为k₁，k₂
（Ⅰ）求证：k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}（{y}_{0}-2）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，k₁•k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$．
（Ⅱ）求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．

分析（I）设切线：y-y₀=k（x-x₀），切线与x轴交于点（${x}_{0}-\frac{{y}_{0}}{k}$，0），圆心到切线的距离d=$\frac{|-2+{y}_{0}-{kx}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，结合韦达定理，可得k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}（{y}_{0}-2）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，k₁•k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$．
（Ⅱ）求出过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的表达式，由基本不等式可求出两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．

解答解：（I）证明：设切线方程y-y₀=k（x-x₀），即kx-y+y₀-kx₀=0，
切线与x轴交为（${x}_{0}-\frac{{y}_{0}}{k}$，0），圆心到直线的距离d=$\frac{|-2+{y}_{0}-{kx}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2 （3分）
整理得：${{（x}_{0}}^{2}-4）{k}^{2}+2{x}_{0}（2-{y}_{0}）k+{y}_{0}^{2}-4{y}_{0}=0$ （5分）
由两切线的斜率分别为k₁，k₂
则k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}（{y}_{0}-2）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，k₁•k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，…（7分）
（Ⅱ）S=$\frac{1}{2}$|（${x}_{0}-\frac{{y}_{0}}{{k}_{1}}$）-（${x}_{0}-\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}$）|y₀
=$\frac{1}{2}$y₀²•$\left|\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{{k}_{1}{k}_{2}}\right|$
=$\frac{1}{2}$y₀²•$\sqrt{\frac{（{k}_{1}+{k}_{2}）^{2}-4{k}_{1}{k}_{2}}{{（k}_{1}{k}_{2}）^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$y₀²•$\sqrt{\frac{{（\frac{2{x}_{0}（{y}_{0}-2）}{{{x}_{0}}^{2}-4}）}^{2}-4•\frac{{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}}{{（\frac{{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}）}^{2}}}$
=$\frac{2{y}_{0}^{\;}\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-4{y}_{0}}}{{y}_{0}-4}$
=$\frac{2{y}_{0}^{2}}{{y}_{0}-4}$
=2[$\frac{16}{{y}_{0}-4}$+（y₀-4）+8]
≥2（2$\sqrt{\frac{16}{{y}_{0}-4}•（{y}_{0}-4）}$+8）
=32 …（12分）．
当且仅当$\frac{16}{{y}_{0}-4}$=y0-4，即y₀=8时取等号．
故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32 …（14分）