Question

（本题满分14分）设,函数．
（Ⅰ）证明:存在唯一实数，使；
（Ⅱ）定义数列:,,．
（i）求证:对任意正整数n都有；
(ii) 当时,若，
证明:当k时，对任意都有:

Answer 1

（Ⅰ）证明：略

（Ⅰ）证明: ①.       ………1分
令,则,,
∴.                               ………………………………… 2分
又,∴是R上的增函数.    …………………… 3分
故在区间上有唯一零点,
即存在唯一实数使.          ………………………………… 4分
②当时,,,由①知,即成立；…… 5分
设当时,,注意到在上是减函数,且,
故有:,即
∴,                   ………………………………… 7分
即.这就是说,时,结论也成立.
故对任意正整数都有:.            ………………………………… 8分
(2)当时,由得:,     ……………… 9分
………10分
当时,,
∴
    ………………………………… 12分
对,
   ………………………………… 13分
    ………………… 14分