Question

8．设数列{a_n}的各项均为正数，且a₁，2²，a₂，2⁴，..，a_n，2²ⁿ，…成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记S_n为数列{a_n}的前n和，若S_k≥30（2^k+1），整数k的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，得出2²，2⁴，…，2²ⁿ成等比数列，数列{a_n}是等比数列，求出首项与公比，写出通项公式即可；
（Ⅱ）写出数列{a_n}的前n和S_n，利用不等式S_k≥30（2^k+1），求出不等式解集中整数k的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的各项均为正数，且a₁，2²，a₂，2⁴，..，a_n，2²ⁿ，…成等比数列；
∴2²，2⁴，…，2²ⁿ也成等比数列，且公比为q²=$\frac{{2}^{4}}{{2}^{2}}$=4；
∴q=2，
∴a₁=$\frac{{2}^{2}}{2}$=2；
∴数列{a_n}是首项为a₁=2，公比为4的等比数列，
其通项公式为a_n=2•4^n-1=2^2n-1；
（Ⅱ）∵S_n为数列{a_n}的前n和，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2×（1{-4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）=$\frac{2}{3}$（2²ⁿ-1），
又S_k≥30（2^k+1），
即$\frac{2}{3}$（2^2k-1）≥30（2^k+1），
化简得2^2k-45•2^k-46≥0，
解得2^k≥46或2^k≤1（不合题意，舍去）；
∴k≥6，
即整数k的最小值是6．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n和公式的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．