题目内容

设x，y，a∈R⁺，且当x+2y=1 时， $数学公式$ 的最小值为 $数学公式$ ．则当 $数学公式$ 时，3x+ay 的最小值是________．

$\text{[math]}$
分析：由题设条件，可在 $\text{[math]}$ 上乘以x+2y构造出积为定值的形式，由基本不等式求得 $\text{[math]}$ 的最小值为3+2a+2 $\text{[math]}$ ，从而得到3+2a+2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，同理可得当 $\text{[math]}$ 时，3x+ay 的最小值是3+2a+2 $\text{[math]}$ ，即可求得3x+ay 的最小值是 $\text{[math]}$
解答：由题意x，y，a∈R⁺，且当x+2y=1 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
由于 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）（x+2y）=3+2a+ $\text{[math]}$ ≥3+2a+2 $\text{[math]}$ ，等号当 $\text{[math]}$ 时取到
故有3+2a+2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴3x+ay=（3x+ay ）（ $\text{[math]}$ ）=3+2a+ $\text{[math]}$ ≥3+2a+2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，等号当 $\text{[math]}$ 时取到
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a+2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a+2 $\text{[math]}$ 求出3x+ay 的最小值是 $\text{[math]}$ ，这是因为3+2a+2 $\text{[math]}$ 是一个常数，本题是一个中档题目．