Question

由计算机随机选出大批正整数，取其最高位数字（如 35为3，110为1）的次数构成一个分布，已知这个分布中，数字1，2，3，…，9出现的概率正好构成一个首项为

1

5

的等差数列．现从这批正整数中任取一个，记其最高位数字为x （x=1，2，…，9）．
（1）求x的概率分布；
（2）求x的期望Ex．

Answer 1

分析：（1）设出数列的公差，根据数字1，2，3，…，9出现的概率正好构成一个首项为

1

5

的等差数列，和分布列中所有的概率之和是1，得到数列的方差，得到各个变量对应的概率，写出分布列．
（2）根据上一问的分布列求出变量的期望值．

解答：解：（1）根据题意设P（ξ=n）=a_n（n═1，2，…，9），
公差为d，
∵数字1，2，3，…，9出现的概率正好构成一个首项为

1

5

的等差数列
∴

1

5

×9+

1

2

×9×8d=1，
∴d=-

1

45

，
∴P（ξ=n）=

1

5

-（n-1）

1

45

（n═1，2，…，9）
∴分布如下：

ξ	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P	9 45	8 45	7 45	6 45	5 45	4 45	3 45	2 45	1 45

（2）根据第一问的分布列写出期望
Ex=

2×(1×9+2×8+3×7+4×6)+25

45

=

11

3

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望值，考查等差数列的通项，在解题时注意分布列的性质的应用，正确利用方程思想解决概率问题．