Question

已知实数列{a_n}是等比数列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}的前n项和记为S_n，证明：S_n＜128（n=1，2，3…）．

Answer 1

分析：（1）、根据等比数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a₁和q的值，进而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）、根据等比数列前n项和的求法求出数列{a_n}的前n项和记为S_n，即可证明S_n＜128（n=1，2，3…）．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q∈R），由a₇=a₁q⁶=1，得a₁=q^-6，
从而a₄=a₁q³=q^-3，a₅=a₁q⁴=q^-2，a₆=a₁q⁵=q^-1．
因为a₄，a₅+1，a₆成等差数列，
所以a₄+a₆=2（a₅+1），即q^-3+q^-1=2（q^-2+1），q^-1（q^-2+1）=2（q^-2+1）．
所以q=

1

2

．故a_n=a₁q^n-1=q^-6q^n-1=64（

1

2

）^n-1=2^7-n
（2）又等比数列前n项和的公式可知：
Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

64[1-( 1 2 )n ]

1- 1 2

=128[1-（

1

2

）ⁿ]＜128．

点评：本题主要考查等差数列、等比数列、放缩法等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．