Question

【题目】如图，已知平面平面为等边三角形，为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，根据条件可证四边形为平行四边形，则，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后根据面面垂直的判定定理证明结论即可；

（2）在平面内，过点作于点，连接，利用线面角的定义找到直线与平面所成角，再通过解三角形得到和即可求出结果.

（1）证明：取的中点，连接.

∵为的中点，∴且.

∵平面平面，

∴，∴.

又，∴，

∴四边形为平行四边形，则.

∵为等边三角形，为的中点，∴.

∵平面，平面，∴.

又，故平面.

∵，∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）在平面内，过点作于点，连接.

∵平面平面，平面平面，∴平面，

∴为和平面所成的角，

设，则，，

中，，

∴直线和平面所成角的正弦值为.

【点晴】

本题考查面面垂直的证明、空间直线和平面的位置关系以及空间角的计算，考查考生的推理论证能力以及运算求解能力，属中档题.