题目内容
已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且y=
在（0，+∞）上为增函数．
（1）求证：任意x1，x2∈（0，+∞），f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（2）若f（x）有零点，求证：f（x）＞2014有解．
| f(x) |
| x |
（1）求证：任意x1，x2∈（0，+∞），f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（2）若f（x）有零点，求证：f（x）＞2014有解．
考点：抽象函数及其应用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数的单调性即可证明任意x1，x2∈（0，+∞），f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（2）设f（x0）=0，根据函数零点的性质即可得到结论．
（2）设f（x0）=0，根据函数零点的性质即可得到结论．
解答：
（1）∵?x1，x2∈（0，+∞），
有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2，
∵y=
在（0，+∞）上为增函数，
∴
＜
，
＜
，
即f（x1）＜x1•
，f（x2）＜x2•
，
则f（x1）+f（x2）＜x1•
+x2•
=（x1+x2）•
=f（x1+x2）；
故f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）成立．
（2）若f（x）有零点，设f（x0）=0，其中x0＞0．
∵y=
在（0，+∞）上为增函数．
∴当x＞x0时，
＞
=0．
取t∈（0，+∞），满足f（t）＞0，记
=k．
∵当x＞t时，
＞
=k．
∴f（x）＞kx对x＞t成立．
只要x＞
，则有f（x）＞kx＞2014，
即f（x）＞2014 一定有解．
有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2，
∵y=
| f(x) |
| x |
∴
| f(x1) |
| x1 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| f(x2) |
| x2 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
即f（x1）＜x1•
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
则f（x1）+f（x2）＜x1•
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
故f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）成立．
（2）若f（x）有零点，设f（x0）=0，其中x0＞0．
∵y=
| f(x) |
| x |
∴当x＞x0时，
| f(x) |
| x |
| f(x0) |
| x0 |
取t∈（0，+∞），满足f（t）＞0，记
| f(t) |
| t |
∵当x＞t时，
| f(x) |
| x |
| f(t) |
| t |
∴f（x）＞kx对x＞t成立．
只要x＞
| 2014 |
| k |
即f（x）＞2014 一定有解．
点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性的性质以及函数零点的判断方法是解决本题的关键．
练习册系列答案
每日10分钟口算心算速算天天练系列答案
相关题目
若二项式（2x+
）8的展开式中的常数项为70，则实数a可以为（ ）
| a |
| x |
| A、2 | ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
为了了解秃顶与患心脏病是否有关，某校学生随机调查了医院中因患心脏病而住院45名男性病人；另外不是因患心脏病而住院55名男性病人，得到相应的2×2列联表：
已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如图，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为