Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且．

证明：直线与圆相切；

求面积的最小值．

Answer 1

【答案】证明见解析；1.

【解析】

由题意可得椭圆的方程为，由点在直线上，且知的斜率必定存在，分类讨论当的斜率为时和斜率不为时的情况列出相应式子，即可得出直线与圆相切；

由知，的面积为

解：由题意，椭圆的焦点在轴上，且，所以．

所以椭圆的方程为．

由点在直线上，且知的斜率必定存在，

当的斜率为时，，，

于是，到的距离为，直线与圆相切．

当的斜率不为时，设的方程为，与联立得，

所以，，从而．

而，故的方程为，而在上，故，

从而，于是．

此时，到的距离为，直线与圆相切．

综上，直线与圆相切．

由知，的面积为

，

上式中，当且仅当等号成立，

所以面积的最小值为1．