Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＜0，且f=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）证明f（x）在定义域上是减函数；
（Ⅱ）如果，求满足不等式的x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）要掌握定义法证明单调性的前提是x₁＜x_2，判断f（x₂）＜f（x₁）即可，准确构造条件当x＞1时，f（x）＜0，取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，，进而得出结论；
（2）要利用第一问的结论，加上条件f（x•y）=f（x）+f（y），利用单调性即可解出答案．
解答：解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
，∴（2分）
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴，∴，（4分）
∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）在定义域内是减函数．（6分）
（Ⅱ）由已知f（x•y）=f（x）+f（y），
可得∴．（8分），
∴，（10分）
∵f（x）在定义域内是减函数，
∴（12分）
点评：本题要掌握定义法证明单调性的前提是x₁＜x_2，判断f（x₂），f（x₁）的大小；另外如果第一问无法准确得出，可以直接将结论应用于第二问．