Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，设F（x）=f（x）•（x-a）²在区间[-4，4]上的最大值为g（a），则g（a）的表达式为$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}，}&{a≥2}\\{（4-a）^{2}，}&{a＜2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通过函数f（x）的解析式可知当-4≤x＜0时F（x）≤0，从而当0≤x≤4时F（x）=（x-a）²（≥0）才能取到最大值g（a），通过在0≤x≤4这个条件下分a≥4、2＜a＜4、0＜a≤2、a≤0四种情况，利用函数的单调性讨论即得结论．

解答 解：依题意，当-4≤x＜0时，F（x）=f（x）•（x-a）²=-（x-a）²≤0，
∴当0≤x≤4时，F（x）=f（x）•（x-a）²=（x-a）²（≥0）才能取到最大值g（a），

下面在0≤x≤4这个条件下分如下情况讨论：
①当a≥4时，F（x）=（x-a）²在[0，4]上单调递减，
∴g（a）=F（0）=a²；
②当2＜a＜4时，F（x）=（x-a）²在[0，a]上单调递减、在[a，4]上单调递增，
∴g（a）=F（0）=a²；
③当0＜a≤2时，F（x）=（x-a）²在[0，a]上单调递减、在[a，4]上单调递增，
∴g（a）=F（4）=（4-a）²；
④当a≤0时，F（x）=（x-a）²在[0，4]上单调递增，
∴g（a）=F（4）=（4-a）²；
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}，}&{a≥2}\\{（4-a）^{2}，}&{a＜2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}，}&{a≥2}\\{（4-a）^{2}，}&{a＜2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．