Question

(本题12分)在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，其焦点在圆上．
⑴求椭圆的方程；
⑵设、、是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使．
①试求直线与的斜率的乘积；
②试求的值．

Answer 1

(1) ．(2) (i) ，
(ii)=．

(1)易知焦点坐标为(-1,0),(1,0),再根据离心率求出a,进而求出b的值.从而确定椭圆的方程.
(2)设，设,因，
故,再根据M在椭圆上，可得,
然后再利用点A、B在椭圆上这个条件，得到两个方程，以此对上面的方程化简，可求出直线与的斜率的乘积.
(ii) 因为=,然后可以根据（i）的结论，得到,
从而,又因，所以.问题到此得以解决.
(1)依题意得, 于是． 
所以所求椭圆的方程为．
(2) (i)设，则   ①
   ②．
又设,因，
故
因在椭圆上，
故
整理得：
将①②代入上式，并由得
所以
(ii)，
故
又
故
所以，=．