题目内容
已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）的极大值点为0，4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
④函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
| x | -1 | 0 | 2 | 4 | 5 |
| f（x） | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
①②③
①②③
．分析：由导函数的图象看出函数的单调区间及原函数的极值点，结合函数f（x）在定义域[-1，5]内的部分对应值表，可以作出函数f（x）图象的大致形状，由图象形状可以判断四个命题的真假．
解答：解：由导函数的图象可知，在定义域[-1，5]上，导函数有3个零点，分别是0，2，4，
且当x∈（-1，0）和x∈（2，4）时，导函数大于0，所以原函数在（-1，0），（2，4）上为增函数，
当x∈（0，2）和x∈（4，5）时，导函数小于0，所以原函数在（0，2），（4，5）上为减函数．
又f（-1）=1，f（0）=2，f（2）=1，f（4）=2，f（5）=1，
所以原函数的图象大致为：
由图可知：函数f（x）的极大值点为0，4．所以命题①正确；
函数f（x）在[0，2]上为减函数．所以命题②正确；
当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．所以命题③正确；
函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、2、3、4个．所以命题④不正确．
故答案为①②③．
且当x∈（-1，0）和x∈（2，4）时，导函数大于0，所以原函数在（-1，0），（2，4）上为增函数，
当x∈（0，2）和x∈（4，5）时，导函数小于0，所以原函数在（0，2），（4，5）上为减函数．
又f（-1）=1，f（0）=2，f（2）=1，f（4）=2，f（5）=1，
所以原函数的图象大致为：
由图可知：函数f（x）的极大值点为0，4．所以命题①正确；
函数f（x）在[0，2]上为减函数．所以命题②正确；
当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．所以命题③正确；
函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、2、3、4个．所以命题④不正确．
故答案为①②③．
点评：本题考查的是判断命题的真假，考查了利用导数研究函数的极值，考查了数形结合的解题思想，解答此题的关键是通过导函数的图象得到原函数的单调区间及极值点的情况，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
