Question

如图，钢板材料ABCD的上沿为圆弧AD，其所在圆的圆心为BC的中点O，AB、CD都垂直于BC，且AB=CD=a，BC=b，现如何用这块钢板材料截一块矩形板（其中两个顶点在

AD

上，另两个顶点在BC上），使矩形的面积最大？请你设计截取方案，并说明理由．

Answer 1

分析：作出如图的辅助线，设∠AOB=θ，∠NOB=α，化简矩形EFMN的面积得S=R²sin 2α，由于2θ≤2α＜π，所以分θ≤

π

4

与θ＞

π

4

两种情况讨论，分别根据sin2α的最大值得到矩形面积S的最大值，由此即可得到相应的设计方案．

解答：解：如图，设∠AOB=θ，∠NOB=α（θ≤α≤

π

2

），
其中半径AO=R=

a2+ 1 4 b2

，且sin θ=

a

R

，cos θ=

b

2R

．
矩形EFMN的面积是
S=Rsinα（2Rcosα）=R²sin2α（2θ≤2α＜π），
①当θ≤

π

4

，即2θ≤

π

2

时，此时2a≤b，S_max=R²=a²+

1

4

b²，这时α=

π

4

．
②当θ＞

π

4

，即2θ＞

π

2

时，此时2a＞b，S_max=R²sin 2θ=2R²sin θcos θ=2R²•

a

R

•

b

2R

=ab．
因此，设计方案如下：
当2a≤b时，取点N使∠NOB=

π

4

，再确定点M、E、F，这样矩形EFMN的最大面积为a²+

1

4

b²；
当2a＞b时，这时矩形ABCD就是所求的面积最大的矩形，最大面积为ab．

点评：本题在圆当中求截取矩形的面积最大值，着重考查了解三角形、三角函数的值域与最值和三角函数的应用等知识，属于中档题．