Question

（2012•江苏一模）现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x （cm），高为y （cm），体积为V （cm³）
（1）求出x 与 y 的关系式；
（2）求该铁皮盒体积V的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，可得得x²+4xy=4800，进而可确定x 与 y 的关系式；
（2）铁皮盒体积V(x)=x2y=x2

4800-x2

4x

=-

1

4

x3+1200x，求导函数，确定函数的极值，极大值，也是最大值．

解答：解：（1）由题意得x²+4xy=4800，
即y=

4800-x2

4x

，0＜x＜60．  （6分）
（2）铁皮盒体积V(x)=x2y=x2

4800-x2

4x

=-

1

4

x3+1200x，（10分）
V′(x)=-

3

4

x2+1200，令V′（x）=0，得x=40，（12分）
因为x∈（0，40），V′（x）＞0，V（x）是增函数；x∈（40，60），V'（x）＜0，V（x）是减函数，
所以V(x)=-

1

4

x3+1200x，在x=40时取得极大值，也是最大值，其值为32000cm³．
答：该铁皮盒体积V的最大值是32000cm³．         （14分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题．