题目内容

如图所示，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC
（1）求异面直线BE、AB₁所成的角的大小；
（2）求A₁到截面BDE的距离；
（3）求二面角A₁-DE-B的大小．

解：以DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4），A（2，0，0），B₁（2，2，4）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（1） $\text{[math]}$
设异面直线BE、AB₁所成的角的大小为α，则cos $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
（2）证明：∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D，∴A₁C⊥平面DBE
设C到截面BDE的距离为h，则有
∵V_C-BDE=V_E-BCD，∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴A₁到截面BDE的距离为 $\text{[math]}$ ；
（3）由（2）知向量 $\text{[math]}$ 为平面DBE的一个法向量
设平面DA₁E的法向量n=（x，y，z）
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴n=（4，1，-2）
又二面角A₁-DE-B为锐角
∴二面角A₁-DE-B的余弦值为 $\text{[math]}$
分析：以DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．
（1）先求得 $\text{[math]}$ ，利用向量的夹角求异面直线BE、AB₁所成的角．
（2）根据空间直角坐标系个点坐标，即向量垂直计算，可得A₁C⊥BD，A₁C⊥DE又DB∩DE=D即可得A₁C⊥平面DBE
，再利用等体积可求．
（3）由（2）知向量 $\text{[math]}$ 为平面DBE的一个法向量，根据向量坐标计算，即可得到二面角A₁-DE-B的余弦值．
点评：本题以正四棱柱为载体，考查线线角，面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，计算要小心．