Question

某公司拟制造如图所示的工件（长度单位：米），要求工件的体积为10立方米，其中工件的中间为长方体，上下两端为相同的正四棱锥，其底面边长AB=a，高PO=

3

8

a．假设工件的制造费用仅与其表面积有关，已知正四棱柱侧面每平方米制造费用为2千元，正四棱锥侧面每平方米建造费用为4千元．设工件的制造费用为y千元．
（1）写出y关于a的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该工件的制造费用最小时a的值．

Answer 1

分析：（1）由长方体和四棱锥的体积的表达式，得到a和b的关系．再由柱和锥体的表面积公式建立关系式，将表达式中的b用a表示．并注意到写定义域时，利用b＞0，求出自变量a的范围．
（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，确定函数f（x）在定义域上的单调性，从而可求函数的最大值．

解答：解：（1）AB=a，PO=

3

8

a，∴斜高为

( 3 8 a)2+( 1 2 a)2

=

5a

8

．…（2分）
∴一个正四棱锥的侧面积为S1=4×

1

2

×a×

5a

8

=

5

4

a2．
一个正四棱锥的体积为V1=

1

3

a2×

3

8

a=

1

8

a3．               …（4分）
令长方体的高为b，则a2b+

1

8

a3×2=10．∴b=

10

a2

-

1

4

a．  …（6分）
由b＞0，得0＜a＜2

3	5

．                               …（8分）y=4ab×2+

5

4

a2×2×4=8ab+10a2=

80

a

+8a2，定义域为(0，2

3	5

)．…（11分）

（2）y′=-

80

a2

+16a，令y'=0，得a=

3	5

．                 …（13分）
当a∈(0，

3	5

)，y'＜0，y为a的减函数；
当a∈(

3	5

，2

3	5

)，y'＞0，y为a的增函数，…（15分）
（答）该工件的制造费用最小时，a的值为

3	5

（米）．         …（16分）

点评：利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时考查空间想象力也蕴含在其中．