题目内容

17．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米，记矩形AMPN的面积为S平方米．
（1）按下列要求建立函数关系；
（i）设AN=x米，将S表示为x的函数；
（ii）设∠BMC=θ（rad），将S表示为θ的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求出S的最小值，并求出S取得最小值时AN的长度．

分析 （1）求出AN，AM，即可建立函数关系；
（i）设AN=x米，先求出AM的长，即可表示出矩形AMPN的面积；
（ii）由∠BMC=θ（rad），可以依次表示出AM与AN的长度，即可表示出S关于θ的函数表达式；
（2）选择（ii）中的函数关系式，化简，由基本不等式即可求出最值．

解答 解：（1）（i）∵Rt△CDN～Rt△MBC，∴$\frac{DN}{BC}$=$\frac{DC}{BM}$，
∴$\frac{x-2}{2}=\frac{3}{BM}$，∴BM=$\frac{6}{x-2}$，
由于$\frac{DN}{AN}=\frac{DC}{AM}$，则AM=$\frac{3x}{x-2}$   
∴S=AN•AM=$\frac{3{x}^{2}}{x-2}$，（x＞2）
（ii）在Rt△MBC中，tanθ=$\frac{BC}{MB}=\frac{2}{MB}$，∴MB=$\frac{2}{tanθ}$，∴AM=3+$\frac{2}{tanθ}$，
在Rt△CDN中，tanθ=$\frac{DN}{DC}=\frac{DN}{3}$，∴DN=3tanθ，∴AN=2+3tanθ，
∴S=AM•AN=（3+$\frac{2}{tanθ}$）•（2+3tanθ），其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$；
（2）选择（ii）中关系式
∵S=AM•AN=（3+$\frac{2}{tanθ}$）•（2+3tanθ），（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）；
∴S=12+9tanθ+$\frac{4}{tanθ}$≥12+2$\sqrt{9tanθ•\frac{4}{tanθ}}$=24，
当且仅当9tanθ=$\frac{4}{tanθ}$，即tanθ=$\frac{2}{3}$时，取等号，此时AN=4
答：当AN的长度为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24m2．

点评 本题考查了基本不等式在最值中的应用，考查学生的计算能力，考查矩形的知识，是一道中档题．

练习册系列答案
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C．是与$\overrightarrow{c}$共线的向量D．无意义
7．计算：
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