题目内容
（2013•无为县模拟）已知函数f（x）=
，g（x）=
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x1＜x2，且f（x1）=f（x2），求证：f（x1）＞f（2-x2）．
| x |
| ex |
| (2-x)ex |
| e2 |
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x1＜x2，且f（x1）=f（x2），求证：f（x1）＞f（2-x2）．
分析：（1）利用导数即可求出；
（2）利用导数证明函数f（x）-g（x）的最小值大于0即可；
（3）利用（1）的结论和已知条件得出x1＜1＜x2，即可证明．
（2）利用导数证明函数f（x）-g（x）的最小值大于0即可；
（3）利用（1）的结论和已知条件得出x1＜1＜x2，即可证明．
解答：解：（1）∵函数f（x）=
，∴f′(x)=
，
令f′（x）=0，解得x=1．
列表如下：
由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值且f（1）=
．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=
-
，
则h′（x）=
-
=
．
当x＞1时，ex+2＞0，1-x＜0，2x＞2，可得e2-e2x＜0，
∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴h（x）＞h（1）=0，
故当x＞1时，f（x）＞g（x）．
（3）∵f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）上是减函数，如图所示．
∴当x1≠x2时，且f（x1）=f（x2）时，x1、x2不可能在同一个单调区间内．
∴必有x1＜1＜x2．
则f（x1）-f（2-x2）=f（x2）-f（2-x2）=
-
=
-
=f（x2）-g（x2）
由（2）可知：f（x2）＞g（x2）．
∴f（x1）-f（2-x2）＞0，即f（x1）＞f（2-x2）．
| x |
| ex |
| 1-x |
| ex |
令f′（x）=0，解得x=1．
列表如下：
由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值且f（1）=
| 1 |
| e |
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=
| x |
| ex |
| (2-x)ex |
| e2 |
则h′（x）=
| 1-x |
| ex |
| (1-x)ex |
| e2 |
| (1-x)(e2-e2x) |
| ex+2 |
当x＞1时，ex+2＞0，1-x＜0，2x＞2，可得e2-e2x＜0，
∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴h（x）＞h（1）=0，
故当x＞1时，f（x）＞g（x）．
（3）∵f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）上是减函数，如图所示．
∴当x1≠x2时，且f（x1）=f（x2）时，x1、x2不可能在同一个单调区间内．
∴必有x1＜1＜x2．
则f（x1）-f（2-x2）=f（x2）-f（2-x2）=
| x2 |
| ex2 |
| 2-x2 |
| e2-x2 |
| x2 |
| ex2 |
| (2-x2)ex2 |
| e2 |
由（2）可知：f（x2）＞g（x2）．
∴f（x1）-f（2-x2）＞0，即f（x1）＞f（2-x2）．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性及极值是解题的关键．
练习册系列答案
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