题目内容

(2013•无为县模拟)已知函数f(x)=cos(-
x
2
)+cos(
4k+1
2
π-
x
2
),k∈Z,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,π)上的减区间;
(3)若f(α)=
2
10
5
,α∈(0,
π
2
),求tan(2α+
π
4
)的值.
分析:(1)先利用诱导公式、辅助角公式对已知函数进行化简,然后结合 周期公式即可求解最小正周期
(2)结合正弦函数的单调递减区间可求函数的单调递减区间,然后结合已知x的范围即可求解
(3)由f(α)=
2
10
5
可求sinα,然后结合α∈(0,
1
2
π)
及同角基本关系可求cosα,tanα,然后利用二倍角的正切公式可求tan2α=
2tanα
1-tan2α
,最后利用两角和的正切公式可求
解答:解:(1)f(x)=cos(-
1
2
π
)+cos(
4k+1
2
π-
1
2
x

=cos
1
2
x
+cos(2kπ+
1
2
π-
1
2
x

=sin
1
2
x
+cos
1
2
x
=
2
sin(
1
2
x
+
π
4
),
所以,f(x)的最小正周期T=
1
2
=4π                
(2)由
1
2
π
+2kπ≤
1
2
x+
π
4
2
+2kπ
,k∈Z
1
2
π+4kπ≤x≤
2
+4kπ
,k∈z
令k=0,得
π
2
≤x≤
2

令k=-1可得,-
12
≤x≤-
2

∵x∈(0,
1
2
π)

∴f(x)在(0,π)上的单调递减区间是[
1
2
π,π

(3)由f(α)=
2
10
5
可得sin
α
2
+cos
α
2
=
2
10
5

两边同时平方可得,1+sinα=
8
5

∴sinα=
3
5

α∈(0,
1
2
π)

∴cosα=
4
5

tanα=
sinα
cosα
=
3
4
,tan2α=
2tanα
1-tan2α
=
3
4
1-
9
16
=
24
7

∴tan(2α+
π
4
)=
1+tan2α
1-tan2α
=
1+
24
7
1-
24
7
=-
31
17
点评:本题主要考查了诱导公式、辅助角公式在三角函数中的化简,周期公式的应用及正弦函数的单调区间的求解,同角基本关系、利用二倍角的正切公式、用两角和的正切公式的综合应用.
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