题目内容
(2013•无为县模拟)已知函数f(x)=cos(-
)+cos(
π-
),k∈Z,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,π)上的减区间;
(3)若f(α)=
,α∈(0,
),求tan(2α+
)的值.
x |
2 |
4k+1 |
2 |
x |
2 |
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,π)上的减区间;
(3)若f(α)=
2
| ||
5 |
π |
2 |
π |
4 |
分析:(1)先利用诱导公式、辅助角公式对已知函数进行化简,然后结合 周期公式即可求解最小正周期
(2)结合正弦函数的单调递减区间可求函数的单调递减区间,然后结合已知x的范围即可求解
(3)由f(α)=
可求sinα,然后结合α∈(0,
π)及同角基本关系可求cosα,tanα,然后利用二倍角的正切公式可求tan2α=
,最后利用两角和的正切公式可求
(2)结合正弦函数的单调递减区间可求函数的单调递减区间,然后结合已知x的范围即可求解
(3)由f(α)=
2
| ||
5 |
1 |
2 |
2tanα |
1-tan2α |
解答:解:(1)f(x)=cos(-
π)+cos(
π-
x)
=cos
x+cos(2kπ+
π-
x)
=sin
x+cos
x=
sin(
x+
),
所以,f(x)的最小正周期T=
=4π
(2)由
π+2kπ≤
x+
≤
+2kπ,k∈Z
得
π+4kπ≤x≤
+4kπ,k∈z
令k=0,得
≤x≤
令k=-1可得,-
≤x≤-
∵x∈(0,
π)
∴f(x)在(0,π)上的单调递减区间是[
π,π)
(3)由f(α)=
可得sin
+cos
=
两边同时平方可得,1+sinα=
∴sinα=
∵α∈(0,
π)
∴cosα=
∴tanα=
=
,tan2α=
=
=
∴tan(2α+
)=
=
=-
1 |
2 |
4k+1 |
2 |
1 |
2 |
=cos
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=sin
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
π |
4 |
所以,f(x)的最小正周期T=
2π | ||
|
(2)由
1 |
2 |
1 |
2 |
π |
4 |
3π |
2 |
得
1 |
2 |
5π |
2 |
令k=0,得
π |
2 |
5π |
2 |
令k=-1可得,-
7π |
12 |
3π |
2 |
∵x∈(0,
1 |
2 |
∴f(x)在(0,π)上的单调递减区间是[
1 |
2 |
(3)由f(α)=
2
| ||
5 |
α |
2 |
α |
2 |
2
| ||
5 |
两边同时平方可得,1+sinα=
8 |
5 |
∴sinα=
3 |
5 |
∵α∈(0,
1 |
2 |
∴cosα=
4 |
5 |
∴tanα=
sinα |
cosα |
3 |
4 |
2tanα |
1-tan2α |
2×
| ||
1-
|
24 |
7 |
∴tan(2α+
π |
4 |
1+tan2α |
1-tan2α |
1+
| ||
1-
|
31 |
17 |
点评:本题主要考查了诱导公式、辅助角公式在三角函数中的化简,周期公式的应用及正弦函数的单调区间的求解,同角基本关系、利用二倍角的正切公式、用两角和的正切公式的综合应用.
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