Question

已知函数.
（1）若函数为奇函数，求a的值；
（2）若，直线都不是曲线的切线，求k的取值范围；
（3）若，求在区间上的最大值．

Answer 1

（1）；（2）;(3) 当或时，在处取得最大值；当时，取得最大值；当时，在取得最大值；当时，在处都取得最大值0.

试题分析：（1）首先求出导数：，
代入得：.
因为为奇函数，所以必为偶函数，即，
所以.
（2）若，直线都不是曲线的切线，这说明k不在的导函数值域范围内. 所以求出的导函数，再求出它的值域，便可得k的范围.
（3）.
由得：.
注意它的两个零点的差恰好为1，且必有.
结合导函数的图象，可知导函数的符号，从而得到函数的单调区间和极值点.
试题解析：（1）因为，
所以            2分
由二次函数奇偶性的定义，因为为奇函数，
所以为偶函数，即，
所以                                4分
（2）若，直线都不是曲线的切线，即k不在导函数值域范围内.
因为，
所以对成立，
只要的最小值大于k即可，所以k的范围为.7分
（3）.
因为，所以，
当时，对成立，在上单调递增，

所以当时，取得最大值;
当时，在，，单调递增，在时，，调递减，

所以当时，取得最大值;
时，在，，单调递减，

所以当时，取得最大值;.10分
当时，在，，单调递减，在，，单调递增,

又，，
当时，在取得最大值;
当时，在取得最大值；
当时，在处都取得最大值0．
综上所述：当或时，在处取得最大值；
当时，取得最大值；
当时，在取得最大值；
当时，在处都取得最大值0．13分