Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点，且∠PAB=∠PDC=90°．

（Ⅰ）证明：BE∥平面PAD；

（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PAD．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）取PD的中点F，连接AF，EF，证明，即可得证BE∥平面PAD.

（Ⅱ）证明，即可证明平面PAD，问题得证。

证明：（I）取PD的中点F，连接AF，EF．

∵E，F分别是PC，PD的中点，

∴EFCD，又ABCD，

∴EFAB，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴AF∥BE，又AF平面PAD，BE平面PAD，

∴BE∥平面PAD．

（II）∵∠PDC=90°，∴PD⊥DC，

又AB∥CD，

∴AB⊥PD，

∵∠PAB=90°，∴PA⊥AB，

又PA平面PAD，PD平面PAD，PA∩PD=P，

∴AB⊥平面PAD，又AB平面PAB，

∴平面PAD⊥平面PAB．