Question

设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数得 　　(x)＝ln(x＋1)＋1－a， 　　令(x)＝0，解得x＝ea－1－1． 　　(1)当a≤1时，对所有x＞0，(x)＞0， 　　所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数． 　　又g(0)＝0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0)， 　　即当a≤1时，对于所有的x≥0，都有f(x)≥ax． 　　(2)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，(x)＜0， 　　所以g(x)在(0，ea－1－1)上是减函数． 　　又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，有 　　g(x)＜g(0)，即f(x)＜ax． 　　所以当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立． 　　综上，a的取值范围是(－∞，1]．