Question

【题目】已知点在圆：上运动，点在轴上的投影为，动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的动直线与曲线交于、两点，问：在轴上是否存在定点使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定点，使得的值为定值．

【解析】

（1）由，得，设，，，由向量等式可得，，代入圆：，可得动点的轨迹的方程为；

（2）设直线的方程为，设点、，并设点的坐标为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合向量数量积的坐标运算计算的值为定值，通过化简计算得出的值，从而说明定点的存在性．

（1）由，得，

设，，，

则，

∴，，

代入圆：，可得，即．

∴动点的轨迹的方程为；

（2）设直线的方程为，设点、，

联立，消去得，，

，，

假设在轴上存在定点使得的值为定值，

而，，

为定值，

则，解得，

且此时．

因此，在轴上存在定点，使得的值为定值．