题目内容
已知点
分别是射线
，
上的动点，
为坐标原点，且
的面积为定值2．
（I）求线段
中点
的轨迹
的方程；
（II）过点
作直线
，与曲线交于不同的两点
，与射线
分别交于点
，若点恰为线段
的两个三等分点，求此时直线的方程．
（Ⅰ）
（x＞0）
（Ⅱ）
.
解析:
（I）由题可设
，
，
，其中
.
则
1分
∵
的面积为定值2，
∴
. 2分
，消去
，得：． 4分
由于，∴
，所以点
的轨迹方程为（x＞0）．
5分
（II）依题意，直线
的斜率存在，设直线的方程为
．
由
消去
得：
， 6分
设点
、
、
、
的横坐标分别是
、
、
、，
∴由
得
8分
解之得：
．
∴
. 9分
由
消去得：
，
由
消去得：
，
∴
. 10分
由于
为
的三等分点，∴
. 11分
解之得
. 12分
经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.
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分别是射线
，
上的动点，
为坐标原点，且
的面积为定值2．
中点
的轨迹
的方程；
作直线
，与曲线
，与射线
分别交于点
，若点
的两个三等分点，求此时直线
分别是射线
，
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为坐标原点，且
的面积为定值2．
中点
的轨迹
的方程；
作直线
，与曲线
，与射线
分别交于点
，试求出直线l的斜率的取值范围，并证明：｜PR｜＝｜QS｜。
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