Question

（本小题满分15分）在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是棱的中点，且.

（1）试在棱上确定一点，使平面；

（2）当点在棱中点时，求直线与平面所成角的大小的正弦值。

Answer 1

（1）,（2）

【解析】

试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准的确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；（3）直线方向向量与平面的法向量所成锐角（如果求出钝角减去90°）的余角即直线与平面所成的角； （4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：

（1）取边中点为

∵底面是边长为的正三角形，∴

连接，∵是边的中点

∴，

所以可以建立以为坐标原点，为轴，为轴，

为轴如图所示的坐标系 （4分）

则有 ，，，，

，，，

设，则，，

若，则有，

∴ 可得

即当时，. （4分）

（2）当点在棱中点时：

∴，，设平面的一个法向量

∴ 令，得 ，

∴ （4分）

设直线与平面所成角为，则

所以直线与平面所成角的正弦值为 （3分）

考点：空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.