Question

一条抛物线的准线方程为y＝，焦点在射线y＝(x≥0)上，且经过坐标原点．

(1)求抛物线的方程；

(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，P、Q为抛物线上两个动点，当点P在抛物线上运动时，如果使BP⊥PQ，求点Q的范围．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)设抛物线的焦点坐标为(x0，)(x0≥0)，由抛物线经过原点，且准线方程为y＝， 　　得||＝，解得x0＝1． 　　∴焦点在F(1，)，对称轴为x＝1，焦参数p＝，顶点为(1，1)． 　　注意到抛物线过原点，则其开口向下，故所求抛物线方程为(x－1)2＝－(y－1)， 　　即：y＝－x2＋2x． 　　(2)设P(α，－α2＋2α)，Q(β，－β2＋2β)(α≠2，α≠β)， 　　则：kBP＝＝－α，kPQ＝＝2－(α－β)． 　　∵BP⊥PQ，∴kBP·kPQ＝－1． 　　即：－α[2－(α＋β)]＝－1， 　　亦即：α2＋(β－2)α＋1＝0． 　　由Δ＝(β－2)2－4≥0，得β≤0或β≥4． 　　故点Q存在范围是抛物线y＝－x2＋2x上x∈(－∞，0)∪[4，＋∞)．