Question

设椭圆C₁的中心在原点，其右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点F重合，过点F与x轴垂直的直线与C₁交与A、B两点，与C₂交于C、D两点，已知
（1）求椭圆C₁的方程
（2）过点F的直线l与C₁交与M、N两点，与C₂交与P、Q两点，若，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）抛物线C₂：y²=4x的焦点F（1，0），设椭圆C₁的方程：（a＞b＞0），解方程组，得C（1，2），D（1，-2），由于C₁，C₂都关于x轴对称，故，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）设l：x=ty+1，解方程组，消元得：y²-4ty-4=0，故△=16t²+16＞0，=4（t²+1）．解方程组，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，故△=36t²+36（3t²+4）＞0，=，由此能求出直线l的方程．
解答：解：（1）抛物线C₂：y²=4x的焦点F（1，0），
设椭圆C₁的方程：（a＞b＞0），
解方程组，得C（1，2），D（1，-2），
由于C₁，C₂都关于x轴对称，
∴，
∴，
∴，∴，
∵a²-b²=c²=1，
∴，解得b²=3，
∴a²=4，∴椭圆C₁的方程为：．
（2）设l：x=ty+1，解方程组，消元得：y²-4ty-4=0，
∴△=16t²+16＞0，
∴=4（t²+1），
再解方程组，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴△=36t²+36（3t²+4）＞0，
∴=，
由，即，
解得t=，
故直线l的方程为：或．
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线方程的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答