Question

在满足a²+b²≤34的条件中随机选一对（a，b），使函数f（x）=ax²-blnx+x（a＞0，0＜b≤3）在区间(

1

2

，1)上不单调的概率为（　　）

• A．

  21

  136π

• B．

  1

  34π

• C．

  2

  17π

• D．

  15

  68π

Answer 1

分析：求函数f（x）=的导数f′(x)=2ax-

b

x

+1，要使函数在区间(

1

2

，1)上不单调，则说明f'（x）=0的根在区间(

1

2

，1)，即f′(1)f′(

1

2

)＜0，求出满足条件的a，b范围，为平面区域，然后利用几何概型求概率．

解答：解：满足a²+b²≤34的条件中的点（a，b），位于半径为

34

的圆内．
函数f（x）=的导数f′(x)=2ax-

b

x

+1，要使函数在区间(

1

2

，1)上不单调，
则说明f'（x）=0的根在区间(

1

2

，1)，即f′(1)f′(

1

2

)＜0，所以（2a-b+1）（a-2b+1）＜0，
即

2a-b+1＞0 a-2b+1＜0

或

2a-b+1＜0 a-2b+1＞0

且a＞0，0＜b≤3，作出不等式组对应的可行域如图阴影部分：令b=3，解的x_B=1，x_F=5，即B（1，3），C（5，3）．同理可知D（00，

1

2

），E（0，1），所以阴影部分的面积为

1

2

×5×(3-

1

2

)-

1

2

×1×(3-1)=

21

4

．圆的面积为π(

34

)2=34π．所以由几何概型公式可得使函数f（x）=ax²-blnx+x（a＞0，0＜b≤3）在区间(

1

2

，1)上不单调的概率为P=

21 4

34π

=

21

136π

．
故选A．

点评：本题考查了导数与函数单调之间的关系，二元一次不等式组与线性规划问题，以及几何概率公式的应用，综合性较强，运算量很大．