Question

在满足a²+b²≤34的条件中随机选一对（a，b），使函数f（x）=ax²-blnx+x（a＞0，0＜b≤3）在区间上不单调的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：求函数f（x）=的导数，要使函数在区间上不单调，则说明f'（x）=0的根在区间，即，求出满足条件的a，b范围，为平面区域，然后利用几何概型求概率．
解答：解：满足a²+b²≤34的条件中的点（a，b），位于半径为的圆内．
函数f（x）=的导数，要使函数在区间上不单调，
则说明f'（x）=0的根在区间，即，所以（2a-b+1）（a-2b+1）＜0，
即或且a＞0，0＜b≤3，作出不等式组对应的可行域如图阴影部分：令b=3，解的x_B=1，x_F=5，即B（1，3），C（5，3）．同理可知D（0），E（0，1），所以阴影部分的面积为=．圆的面积为=34π．所以由几何概型公式可得使函数f（x）=ax²-blnx+x（a＞0，0＜b≤3）在区间上不单调的概率为P=．
故选A．
点评：本题考查了导数与函数单调之间的关系，二元一次不等式组与线性规划问题，以及几何概率公式的应用，综合性较强，运算量很大．