Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O为AC与BD的交点，M为DD₁的中点．
（1）求证：直线B₁O⊥平面MAC；
（2）求二面角B₁-MA-C的大小．

Answer 1

分析：本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．第（2）问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法．
（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直去转化一下，如欲证B₁O⊥AC，可以先证明AC⊥平面BB₁O
（2）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．

解答：1）证明：∵BB₁⊥平面ABCD，OB⊥AC，
∴B₁O⊥AC．
连接MO、MB₁，则MO=

3

，B₁O=

6

，MB₁=3．
∵MO²+B₁O²=MB₁²，∴∠MOB₁=90°．
∴B₁O⊥MO．
∵MO∩AC=O，∴B₁O⊥平面MAC．

（2）解：作ON⊥AM于点N，连接B₁N．
∵B₁O⊥平面MAC，∴AM⊥平面B₁ON．
∴B₁N⊥AM．
∴∠B₁NO就是二面角B₁-MA-C的平面角．
∵AM=

5

，CM=

5

，∴AM=CM．
又O为AC的中点，∴OM⊥AC．则ON=OAsin∠MAO=

2

•

3

5

=

6

5

．
在Rt△B₁ON中，tan∠B₁NO=

B1O

ON

=

5

，
∴∠B₁NO=arctan

5

，即所求二面角的大小为arctan

5

．

点评：证明直线与直线垂直常用的方法有勾股定理、通过直线与平面垂直转化，三垂线定理，其中在立体几何证明垂直的问题中，三垂线定理应用很多，本题的两问都是三垂线定理的应用实例．