Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3-

1

4

x2+cx+d(a，c，d∈R，a≠0)满足f（0）=0，f′（1）=0，且f（x）在R上单调递增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f′（x）-m•x在区间[m，m+2]上的最小值为-5，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

1

3

ax3-

1

4

x2+cx+d(a，c，d∈R，a≠0)满足f（0）=0，知d=0，由f′(x)=ax2-

1

2

x+c，f′（1）=0，知a-

1

2

+c=0，由f（x）在R上单调递增，能求出f（x）的解析式．
（2）由f′(x)=

1

4

x2-

1

2

x+

1

4

，知g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x2-(

1

2

+m)x+

1

4

，由对称轴为x=2m+1．分情况讨论对称轴与区间的位置关系能够求出满足题意的m的值．

解答：解：（1）∵数f(x)=

1

3

ax3-

1

4

x2+cx+d(a，c，d∈R，a≠0)满足f（0）=0，
∴d=0，
∴f′(x)=ax2-

1

2

x+c，
∵f′（1）=0，
∴a-

1

2

+c=0，
∵f（x）在R上单调递增，
∴f′(x)=ax2-

1

2

x+c≥0，x∈R，
∴ax2-

1

2

x+

1

2

-a≥0，x∈R．
故：

a＞0 (- 1 2 )2-4a( 1 2 -a)≤0

，
∴a=

1

4

，于是c=

1

4

，
故f（x）=

1

12

x3-

1

4

x2+

1

4

x．
（2）f′(x)=

1

4

x2-

1

2

x+

1

4

，
故g（x）=f′（x）-mx
=

1

4

x2-(

1

2

+m)x+

1

4

，
对称轴为x=2m+1．下面分情况讨论对称轴与区间的位置关系：
①

2m+1＜m gmin(x)=g(m)=-5

，

m＜-1 m2 4 -( 1 2 +m)m+ 1 4 =-5

，

m＜-1 m2 4 -( 1 2 +m)m+ 1 4 =-5

，
∴m=-3，（m=

7

3

舍去）；
②当

m≤2m+1＜m+2 gmin=g(2m+1)=-5

时，

-1≤m＜1 m= -1± 21 2

，
∴m∈∅；
③当

2m+1≥m+2 g(m+2)=-5

时，

m≥1 m=-1±2 2

，
∴m=-1+2

2

；
综上可得，满足题意的m有m=-3或m=-1+2

2

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．易错点是分类讨论时容易出现分类不清的错误．